INSTITUCIÓN EDUCATIVA NACIONAL LOPERENA

VALLEDUPAR  - CESAR

GUÍA No 4                            ASINATURA: FÍSICA                               GRADO: DECIMO A-B-C

MOVIMIENTO EN EL PLANO                                TEMAS: Magnitudes vectoriales

Introducción

Las magnitudes escalares quedan plenamente definida con un número (valor numérico) y su unidad de medida; sin embargo, los vectores necesitan además de su dirección y sentido.

Los vectores se representan en un plano como segmentos de flechas dirigidos. El inicio de la flecha se le llama cola y el final cabeza.

El tamaño de la flecha es la magnitud o modulo (valor numérico), la cabeza de la flecha indica el sentido y la dirección es la inclinación con respecto al semi eje positivo de las X (equis). 

   

Los vectores se pueden representar geométricamente como segmentos de recta dirigidos o flechas en planos o ; es decir, bidimensional o tridimensional.

Ejemplos

• La velocidad con que se desplaza un móvil es una magnitud vectorial, ya que no queda definida tan sólo por su módulo (lo que marca el velocímetro, en el caso de un automóvil), sino que se requiere indicar la dirección hacia la que se dirige.

• La fuerza que actúa sobre un objeto es una magnitud vectorial, ya que su efecto depende, además de su intensidad o módulo, de la dirección en la que opera.

• El desplazamiento de un objeto.

Magnitudes escalares y vectores

           

Representación gráfica de una magnitud vectorial, con indicación de su punto de aplicación y de los vectores cartesianos.

Representación de los vectores

Frente a aquellas magnitudes físicas, tales como la masa, la presión, el volumen, la energía, la temperatura, etc., que quedan completamente definidas por un número y las unidades utilizadas en su medida, aparecen otras, tales como el desplazamiento, la velocidad, la aceleración, la fuerza, el campo eléctrico, etc., que no quedan completamente definidas dando un dato numérico, sino que llevan asociadas una dirección. Estas últimas magnitudes son llamadas vectoriales en contraposición a las primeras que son llamadas escalares.

Las magnitudes escalares quedan representadas por el ente matemático más simple; por un número. Las magnitudes vectoriales quedan representadas por un ente matemático que recibe el nombre de vector. En un espacio euclidiano, de no más de tres dimensiones, un vector se representa por un segmento orientado. Así, un vector queda caracterizado por los siguientes elementos: su longitud o módulo, siempre positivo por definición, y su dirección, determinada por el ángulo que forma el vector con los ejes de coordenadas. Así pues, podemos enunciar:

Un vector es una magnitud física que tienen módulo y dirección.

Se representa como un segmento orientado, con una dirección, dibujado de forma similar a una "flecha". Su longitud representa el modulo del vector y la "punta de flecha" indica su dirección.

Notación

Las magnitudes vectoriales se representan en los textos impresos por letras en negrita, para diferenciarlas de las magnitudes escalares que se representan en cursiva. En los textos manuscritos, las magnitudes vectoriales se representan colocando una flechita sobre la letra que designa su módulo (que es un escalar).

Tipos de vectores

Según los criterios que se utilicen para determinar la igualdad o equipolencia de dos vectores, pueden distinguirse distintos tipos de los mismos:

• Vectores libres: no están aplicados en ningún punto en particular.
• Vectores deslizantes: su punto de aplicación puede deslizar a lo largo de su recta de acción.
• Vectores fijos o ligados: están aplicados en un punto en particular.

Podemos referirnos también a:

• Vectores unitarios: vectores de módulo(cantidad uno) unidad.
• Vectores concurrentes: sus rectas de acción concurren en un punto propio o impropio (paralelos).
• Vectores opuestos: vectores de igual magnitud, pero dirección contraria.
• Vectores colineales: los vectores que comparten una misma recta de acción.
• Vectores coplanarios: los vectores cuyas rectas de acción son coplanarias (situadas en un mismo plano).

VECTORES EN EL PLANO CARTESIANO

·         A un vector lo representamos gráficamente mediante un segmento orientado.

·         El módulo de un vector es su medida.

·         Decimos que dos vectores tienen la misma dirección cuando están incluidos en la misma recta o en rectas paralelas.

·         El sentido de un vector se indica gráficamente con la punta de la flecha.

·         Dos vectores que tienen la misma dirección pueden tener el mismo sentido o sentidos opuestos.

·         Dos vectores son opuestos cuando tienen la misma dirección, el mismo módulo y sentidos opuestos.

·         Dos vectores son equipolentes si tienen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido.

·         Para trabajar con vectores en el plano cartesiano, se elige como representante de todos los vectores equipolentes al que tiene origen en el punto (0;0) y se lo asocia a un par ordenado cuyas componentes son las coordenadas de su extremo.

Actividad: Observen la el gráfico.

Completen el siguiente cuadro como el ejemplo.

V	Origen	Extremo	Para determinar el tamaño  (Dx,Dy)	Módulo
V1	(0,2)	(7;3)	(7-0 ; 3-2) = (7;1)
V2
V3
V4
V5
V6

OPERACIONES CON VECTORES

Suma y Resta de Vectores.

Gráficamente, la suma de dos vectores puede hallarse mediante el método del paralelogramo cuando estos parten del origen.

 

Algebraicamente, para sumar dos vectores sumamos los pares ordenados componente a componente.

 Resuelvan algebraicamente las siguientes operaciones y represéntelas en el plano

VECTORES Y ESCALARES. FISICA. 

SUMA GRAFICA Y ANALÍTICA

En física debemos distinguir entre vectores y escalares. Un vector es una cantidad orientada, tiene tanto magnitud como dirección.

Ejemplo: La velocidad, la fuerza y el desplazamiento son vectores.

Ejemplo: El tiempo, la temperatura y la energía son escalares: sólo tienen magnitud, no tienen dirección asociada a ellas. Para sumar escalares, como tiempo, se usa la aritmética simple.

1. Suma de Vectores. Método Gráfico

a. Método del triángulo

Si dos vectores se encuentran en la misma recta también podemos usar aritmética, pero no así si los vectores no se encuentran en la misma recta. Por ejemplo, si Ud. se desplaza 4 km hacia el este y luego 3 km hacia el norte, su desplazamiento neto o resultante respecto del punto de partida tendrá una magnitud de 5 km y un ángulo = 36.87º respecto del eje x positivo. Ver figura

Vectorialmente, el desplazamiento resultante V_R, es la suma de los vectores V₁ y V₂, o sea, escribimos V_R = V₁ + V₂ Esta es una ecuación vectorial.

La regla general para sumar vectores en forma gráfica (con regla y transportador), que de hecho es la definición de cómo se suman vectores, es la siguiente:

(1) Use una misma escala para las magnitudes.
(2) Trace uno de los vectores, digamos V₁
(3) Trace el segundo vector, V₂, colocando su cola en la punta del primer vector, asegurándose que su dirección sea la correcta.
(4) La suma o resultante de los dos vectores es la flecha que se traza desde la cola del primer vector hasta la punta del segundo.

Este método también se llama suma de vectores de cola a punta.

Notemos que V₁ + V₂ = V₂ + V₁, esto es, el orden no es importante.

Este método de cola a punta se puede ampliar a tres o más vectores. Suponga que deseamos sumar los vectores V₁, V₂, y V₃ representados a continuación:

V_R = V₁ + V₂ +V₃ es el vector resultante destacado con línea gruesa.

b. Método del paralelogramo

Un segundo método para sumar dos vectores es el método del paralelogramo, equivalente al de cola y punta. En este método se trazan ambos desde un origen común y se forma un paralelogramo usando los dos como lados adyacentes. La resultante es la diagonal que se traza desde el origen común.

2.- Resta de Vectores
Dado un vector V se define el negativo de ese vector (-V) como un vector con la misma magnitud que V, la misma dirección, pero con sentido opuesto:

La diferencia de dos vectores A y B se define como
A - B = A + (-B)
De modo que podemos aplicar las reglas de su suma para restarlos.

3. Suma de Vectores. Método Analítico

a. Suma por Componentes Rectangulares
La suma gráfica de vectores con regla y transportador a veces no tiene la exactitud suficiente y no es útil cuando los vectores están en tres dimensiones.

Sabemos, de la suma de vectores, que todo vector puede descomponerse como la suma de otros dos vectores, llamados las componentes vectoriales del vector original. Para sumarlos, lo usual es escoger las componentes sumando a lo largo de dos direcciones perpendiculares entre sí.

Ejemplo Suma Vectores: suponga un vector V cualquiera

Trazamos ejes coordenados x y con origen en la cola del vector V. Se trazan perpendiculares desde la punta del vector V a los ejes x y y determinándose sobre el eje x la componente vectorial V_x y sobre el eje y la componente vectorial V_y.

Notemos que V = V_x + V_y de acuerdo al método del paralelogramo.

Las magnitudes de V_x y V_y, o sea V_x y V_y, se llaman componentes y son números, positivos o negativos según si apuntan hacia el lado positivo o negativo de los ejes x y y.

Con ayuda de la trigonometría las componentes se pueden determinar como:

V_X = V. Cos   

V_Y = V. Sen  

Problema
El siguiente ejercicio es para aclarar el uso de vectores unitarios en este método analítico. Un auto recorre 20 km hacia el Norte y después 35 km en una dirección 60º al Oeste del Norte. Determine magnitud y dirección del desplazamiento resultante del auto.

Hacemos un diagrama:

Expresando los dos desplazamientos componentes como A y B, indicados en la figura, y usando unitarios, tenemos:
R = A + B.

R es el vector resultante buscado, cuya magnitud se  denota

La dirección puede determinarse calculando el ángulo .

A = 20 km y, (apunta hacia el Norte).
B debemos descomponerlo en componentes x , y

Al reorientar el ángulo

A = (20 km)Cos 90;  (20 km)  Sen 90 = 0 km ; 20 km

B = (35 km)Cos 150 :  (35 km) Sen 150 = -30.3 km : 17.5 km

Luego,

R = 0 Km + 17.5 km  ; 20 km  + (- 30.3 km)  + = - 30.3Km ; 37.5 km;
La magnitud se obtiene de

^R2 = (30.3km)²  + (37.5km)²   = 48.2 km

La dirección de R la determinaremos calculando el ángulo   .
En el triángulo formado por cateto opuesto 30.3 y cateto adyacente 37.5, entonces:

Tan = 30.3/37.5    luego   = Tan ^–1 (30.3/37.5) = 38.9º.

GENERALIZANDO EL PROCESO.

Ejemplo: Tres personas tiran de un cuerpo al mismo tiempo aplicando las siguientes fuerzas: F₁ = 5N al Sur. F₂ = 10N 30º al Sur-Este y F₃ = 7N 45º al Nor-Este. Calcular por medio de componentes rectangulares, la fuerza resultante y la dirección a donde se mueve.

Solución:

Graficar todas las fuerzas con sus respectivas componentes en el sistema de coordenadas rectangulares  y calcular las componentes rectangulares

Gráfica de la solución

Taller:

1. Cuatro vectores fuerzas coplanarios están aplicadas a un cuerpo en un punto 0, como lo indica la figura. Hallar gráficamente su resultante.

2. Sumar los vectores de la figura 1 mediante el método de las componentes rectangulares. (represéntalo en el plano)

Señores estudiantes:

La próxima clase debe estar  la guía desarrollada en el cuaderno.

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Taller  de Física (MUA) Para el grado Décimo

1.- Un cuerpo se mueve, partiendo del reposo, con una aceleración constante de 8 m/s². Calcular:

a) la velocidad que tiene al cabo de 5 s, b) la distancia recorrida, desde el reposo, en los primeros 5 s.  

2.- La velocidad de un vehículo aumenta uniformemente desde 15 km/h hasta 60 km/h en 20 s. Calcular a) la velocidad media en km/h y en m/s, b) la aceleración, c) la distancia, en metros, recorrida durante este tiempo.

3.- Un vehículo que marcha a una velocidad de 15 m/s aumenta su velocidad a razón de 1 m/s cada segundo. a) Calcular la distancia recorrida en 6 s. b) Si disminuye su velocidad a razón de 1 m/s cada segundo, calcular la distancia recorrida en 6 s y el tiempo que tardará en detenerse. 

4.- Un automóvil que marcha a una velocidad de 45 km/h, aplica los frenos y al cabo de 5 s su velocidad se ha reducido a 15 km/h. Calcular a) la aceleración y b) la distancia recorrida durante los cinco segundos.  

5.- La velocidad de un tren se reduce uniformemente de 12 m/s a 5 m/s. Sabiendo que durante ese tiempo recorre una distancia de 100 m, calcular a) la aceleración y b) la distancia que recorre a continuación hasta detenerse suponiendo la misma aceleración.

6.- Un móvil que lleva una velocidad de 10 m/s acelera a razón de 2 m/s². Calcular: a) El incremento de velocidad durante 1 min. b) La velocidad al final del primer minuto. c) La velocidad media durante el primer minuto. d) El espacio recorrido en 1 minuto.  

7.- Un móvil que lleva una velocidad de 8 m/s acelera uniformemente su marcha de forma que recorre 640 m en 40 s. Calcular: a) La velocidad media durante los 40 s. b) La velocidad final. c) El incremento de velocidad en el tiempo dado. d) La aceleración. 

8.- Un automóvil parte del reposo con una aceleración constante de 5 m/s2. Calcular la velocidad que adquiere y el espacio que recorre al cabo de 4 s.   

9.- Un cuerpo cae por un plano inclinado con una aceleración constante partiendo del reposo. Sabiendo que al cabo de 3 s la velocidad que adquiere es de 27 m/s, calcular la velocidad que lleva y la distancia recorrida a los 6 s de haber iniciado el movimiento.

10.- Un móvil parte del reposo con una aceleración constante y cuando lleva recorridos 250 m, su velocidad es de 80 m/s. Calcular la aceleración. 

11.- La velocidad con que sale un proyectil, del cañón, es de 600 m/s. Sabiendo que la longitud del cañón es de 150 cm, calcular la aceleración media del proyectil hasta el momento de salir del cañón.  

12.- Un automóvil aumenta uniformemente su velocidad desde 20 m/s hasta 60 m/s, mientras recorre 200 m. Calcular la aceleración y el tiempo que tarda en pasar de una a otra velocidad. 

13.- Un avión recorre, antes de despegar, una distancia de 1.800 m en 12 s, con una aceleración constante. Calcular: a) la aceleración, b) la velocidad en el momento del despegue, c) la distancia recorrida durante el primero y el doceavo segundo. 

14.- Un tren que lleva una velocidad de 60 km/h frena y, en 44 s, se detiene. Calcular la aceleración y la distancia que recorre hasta que se para.   

15.- Un móvil con una velocidad de 40 m/s, la disminuye uniformemente a razón de 5 m/s². Calcular: a) la velocidad al cabo de 6 s, b) la velocidad media durante los 6 s, c) la distancia recorrida en 6 s. 

16.- Al disparar una flecha con un arco, adquirió una aceleración mientras recorría una distancia de 0,61 m. Si su rapidez en el momento de salir disparada fue de 61 m/s, ¿cuál fue la aceleración media que le aplicó el arco? 

17.- Una nave espacial avanza en el espacio libre con una aceleración constante de 9,8 m/s². a) Si parte del punto de reposo, ¿cuánto tiempo tardará en adquirir una velocidad de la décima parte de la velocidad de la luz, b) ¿qué distancia recorrerá durante ese tiempo? (velocidad de la luz = 3x10⁸ m/s) 

18.- Un jet aterriza con una velocidad de 100 m/s y puede acelerar a una tasa máxima de – 5 m/s² cuando se va a detener. a) A partir del instante en que toca la pista de aterrizaje, ¿cuál es el tiempo mínimo necesario antes de que se detenga?, b) ¿este avión, puede aterrizar en una pista

Observaciones: 

• Este taller se debe entregar el día  martes 4 de marzo de 2014, en forma de trabajo manuscrito. 
• Los grupos pueden estar integrado por 4 o 5 integrantes

• Los estudiantes de los grados 10-03 realizan los ejercicios 1,4,6,10,14,18
• Los estudiantes de los grados 10-02 realizan los ejercicios  2,5,9,12, 13,17
• Los estudiantes de los grados 10-01 realizan los ejercicios  3,7,8,11, 15,16

  

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VALLEDUPAR

Taller de Física

Para el grado Undécimo  

1.    Un cubo metálico que en condiciones normales de presión y temperatura tiene una masa de 79,45 kg, siendo su densidad 11,35 g/cm³ y su coeficiente de dilatación lineal igual a 2,8×10^–5 K^–1, se coloca en un ambiente cuya temperatura es diferente y se comprueba que su nuevo volumen es 7058,8 cm³. Determine la temperatura del nuevo ambiente en °C.

2.    Una arandela metálica tiene radio exterior ‘‘2r’’ y radio interior ‘‘r’’. Si incrementamos su temperatura, se observa que su radio exterior crece en ‘‘r/10’’. Calcular el perímetro de la circunferencia interior, al final del experimento. (Suponga r = 0,550mm)

3.    Una placa de metal tiene las dimensiones de 10×10 m cuando su temperatura es de 10°C. Se observa que cada lado se incrementa en 20 mm cuando se calienta hasta 110°C. ¿Cuál es su coeficiente de dilatación superficial?

4.    Dos varillas una de hierro y otra de zinc miden 25,55 cm y 25,50 cm respectivamente a la temperatura de 0°C, hasta que temperatura deberán ser calentadas ambas varillas para lograr que tengan la misma longitud.

5.    Un cubo de vidrio de 205 gramos sumergido en un líquido a 20°C experimenta un empuje de 1N. Al repetir el experimento con la misma sustancia, a 70°C se obtiene 0,997N de empuje. Halle el coeficiente de dilatación volumétrica del líquido.

6.    Un termómetro está construido para leer temperaturas en °C y K. Un día en que la temperatura ambiental fue 15°C, Martín calentó una barra de cobre de 2m de longitud hasta 65°C, y por error tomó la lectura en K para determinar la dilatación experimentada por la barra. Determinar el error cometido en el cálculo de dicha dilatación

7.    Un volumen de 960 cm³ de Hg (coeficiente de dilatación cúbica =0,00018/°C) está dentro de un recipiente de 1000 cm³ de capacidad (exacta) fabricado de un material de coeficiente de dilatación cúbica 0,0000128/°C. Se eleva la temperatura del conjunto de 0° a 250°, entonces la cantidad derramada debe ser.

8.    Una barra de hierro de 1000 cm. de largo se dilata una longitud de 1,44 mm cuando se calienta desde 0°C hasta 12°C. Calcular el coeficiente dilatación lineal.

9.    Dos rieles de acero de 10 metros de largo cada uno, se colocan tocándose uno a otro, a la temperatura de 40°C. Aquí separación se encontrarán los extremos de la dos rieles cuando la temperatura baja a -10 °C. Si α = 13x10^-6 °C^-1

10.  La longitud de un puente es de aproximadamente 1000 pies. Calcular la diferencia entre las longitudes que alcanza en un día de verano en que la temperatura es de 100°F y un día de invierno donde la temperatura es de -20°F. α = 12x10- 6°C^-1

11.  Un frasco de vidrio de un volumen de 1000 cm³ a 20°C está lleno de mercurio que se derramará cuando la temperatura se eleva a 50°C, siendo el coeficiente de dilatación lineal del vidrio es α = 9 x 10-6°C-1 y el coeficiente de dilatación cúbica del mercurio es  β= 1,82 x 10 -4° C, calcular el volumen de mercurio derramado

  Observaciones: 

   

•  Este taller debe entregarse el próximo  Jueves 6 de marzo de 2014, en forma de trabajo manuscrito. 
• Los grupos pueden estar integrado por 4 o 5 integrantes
•    El grado 11-01 realiza  los ejercicios impares y el grado 11-02 realiza los ejercicios pares.