INSTITUCIÓN EDUCATIVA NACIONAL LOPERENA

VALLEDUPAR - CESAR

GUÍA No 4 ASINATURA: FÍSICA GRADO: DECIMO A-B-C

MOVIMIENTO EN EL PLANO TEMAS: Magnitudes vectoriales

Introducción

Las magnitudes escalares quedan plenamente definida con un número (valor numérico) y su unidad de medida; sin embargo, los vectores necesitan además de su dirección y sentido.

Los vectores se representan en un plano como segmentos de flechas dirigidos. El inicio de la flecha se le llama cola y el final cabeza.

El tamaño de la flecha es la magnitud o modulo (valor numérico), la cabeza de la flecha indica el sentido y la dirección es la inclinación con respecto al semi eje positivo de las X (equis).

Los vectores se pueden representar geométricamente como segmentos de recta dirigidos o flechas en planos o ; es decir, bidimensional o tridimensional.

Ejemplos

La velocidad con que se desplaza un móvil es una magnitud vectorial, ya que no queda definida tan sólo por su módulo (lo que marca el velocímetro, en el caso de un automóvil), sino que se requiere indicar la dirección hacia la que se dirige.

La fuerza que actúa sobre un objeto es una magnitud vectorial, ya que su efecto depende, además de su intensidad o módulo, de la dirección en la que opera.

El desplazamiento de un objeto.

Magnitudes escalares y vectores

Representación gráfica de una magnitud vectorial, con indicación de su punto de aplicación y de los vectores cartesianos.

Representación de los vectores

Frente a aquellas magnitudes físicas, tales como la masa, la presión, el volumen, la energía, la temperatura, etc., que quedan completamente definidas por un número y las unidades utilizadas en su medida, aparecen otras, tales como el desplazamiento, la velocidad, la aceleración, la fuerza, el campo eléctrico, etc., que no quedan completamente definidas dando un dato numérico, sino que llevan asociadas una dirección. Estas últimas magnitudes son llamadas vectoriales en contraposición a las primeras que son llamadas escalares.

Las magnitudes escalares quedan representadas por el ente matemático más simple; por un número. Las magnitudes vectoriales quedan representadas por un ente matemático que recibe el nombre de vector. En un espacio euclidiano, de no más de tres dimensiones, un vector se representa por un segmento orientado. Así, un vector queda caracterizado por los siguientes elementos: su longitud o módulo, siempre positivo por definición, y su dirección, determinada por el ángulo que forma el vector con los ejes de coordenadas. Así pues, podemos enunciar:

Un vector es una magnitud física que tienen módulo y dirección.

Se representa como un segmento orientado, con una dirección, dibujado de forma similar a una "flecha". Su longitud representa el modulo del vector y la "punta de flecha" indica su dirección.

Notación

Las magnitudes vectoriales se representan en los textos impresos por letras en negrita, para diferenciarlas de las magnitudes escalares que se representan en cursiva. En los textos manuscritos, las magnitudes vectoriales se representan colocando una flechita sobre la letra que designa su módulo (que es un escalar).

Tipos de vectores

Según los criterios que se utilicen para determinar la igualdad o equipolencia de dos vectores, pueden distinguirse distintos tipos de los mismos:

Vectores libres: no están aplicados en ningún punto en particular.
Vectores deslizantes: su punto de aplicación puede deslizar a lo largo de su recta de acción.
Vectores fijos o ligados: están aplicados en un punto en particular.

Podemos referirnos también a:

Vectores unitarios: vectores de módulo(cantidad uno) unidad.
Vectores concurrentes: sus rectas de acción concurren en un punto propio o impropio (paralelos).
Vectores opuestos: vectores de igual magnitud, pero dirección contraria.
Vectores colineales: los vectores que comparten una misma recta de acción.
Vectores coplanarios: los vectores cuyas rectas de acción son coplanarias (situadas en un mismo plano).

VECTORES EN EL PLANO CARTESIANO

· A un vector lo representamos gráficamente mediante un segmento orientado.

· El módulo de un vector es su medida.

· Decimos que dos vectores tienen la misma dirección cuando están incluidos en la misma recta o en rectas paralelas.

· El sentido de un vector se indica gráficamente con la punta de la flecha.

· Dos vectores que tienen la misma dirección pueden tener el mismo sentido o sentidos opuestos.

· Dos vectores son opuestos cuando tienen la misma dirección, el mismo módulo y sentidos opuestos.

· Dos vectores son equipolentes si tienen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido.

· Para trabajar con vectores en el plano cartesiano, se elige como representante de todos los vectores equipolentes al que tiene origen en el punto (0;0) y se lo asocia a un par ordenado cuyas componentes son las coordenadas de su extremo.

Actividad: Observen la el gráfico.

Completen el siguiente cuadro como el ejemplo.

V	Origen	Extremo	Para determinar el tamaño (Dx,Dy)	Módulo
V1	(0,2)	(7;3)	(7-0 ; 3-2) = (7;1)
V2
V3
V4
V5
V6

OPERACIONES CON VECTORES

Suma y Resta de Vectores.

Gráficamente, la suma de dos vectores puede hallarse mediante el método del paralelogramo cuando estos parten del origen.

Algebraicamente, para sumar dos vectores sumamos los pares ordenados componente a componente.

Resuelvan algebraicamente las siguientes operaciones y represéntelas en el plano

VECTORES Y ESCALARES. FISICA.

SUMA GRAFICA Y ANALÍTICA

En física debemos distinguir entre vectores y escalares. Un vector es una cantidad orientada, tiene tanto magnitud como dirección.

Ejemplo: La velocidad, la fuerza y el desplazamiento son vectores.

Ejemplo: El tiempo, la temperatura y la energía son escalares: sólo tienen magnitud, no tienen dirección asociada a ellas. Para sumar escalares, como tiempo, se usa la aritmética simple.

1. Suma de Vectores. Método Gráfico

a. Método del triángulo

Si dos vectores se encuentran en la misma recta también podemos usar aritmética, pero no así si los vectores no se encuentran en la misma recta. Por ejemplo, si Ud. se desplaza 4 km hacia el este y luego 3 km hacia el norte, su desplazamiento neto o resultante respecto del punto de partida tendrá una magnitud de 5 km y un ángulo = 36.87º respecto del eje x positivo. Ver figura

Vectorialmente, el desplazamiento resultante V_R, es la suma de los vectores V₁ y V₂, o sea, escribimos V_R = V₁ + V₂ Esta es una ecuación vectorial.

La regla general para sumar vectores en forma gráfica (con regla y transportador), que de hecho es la definición de cómo se suman vectores, es la siguiente:

(1) Use una misma escala para las magnitudes.
(2) Trace uno de los vectores, digamos V₁
(3) Trace el segundo vector, V₂, colocando su cola en la punta del primer vector, asegurándose que su dirección sea la correcta.
(4) La suma o resultante de los dos vectores es la flecha que se traza desde la cola del primer vector hasta la punta del segundo.

Este método también se llama suma de vectores de cola a punta.

Notemos que V₁ + V₂ = V₂ + V₁, esto es, el orden no es importante.

Este método de cola a punta se puede ampliar a tres o más vectores. Suponga que deseamos sumar los vectores V₁, V₂, y V₃ representados a continuación:

V_R = V₁ + V₂ +V₃ es el vector resultante destacado con línea gruesa.

b. Método del paralelogramo

Un segundo método para sumar dos vectores es el método del paralelogramo, equivalente al de cola y punta. En este método se trazan ambos desde un origen común y se forma un paralelogramo usando los dos como lados adyacentes. La resultante es la diagonal que se traza desde el origen común.

2.- Resta de Vectores
Dado un vector V se define el negativo de ese vector (-V) como un vector con la misma magnitud que V, la misma dirección, pero con sentido opuesto:

La diferencia de dos vectores A y B se define como
A - B = A + (-B)
De modo que podemos aplicar las reglas de su suma para restarlos.

3. Suma de Vectores. Método Analítico

a. Suma por Componentes Rectangulares
La suma gráfica de vectores con regla y transportador a veces no tiene la exactitud suficiente y no es útil cuando los vectores están en tres dimensiones.

Sabemos, de la suma de vectores, que todo vector puede descomponerse como la suma de otros dos vectores, llamados las componentes vectoriales del vector original. Para sumarlos, lo usual es escoger las componentes sumando a lo largo de dos direcciones perpendiculares entre sí.

Ejemplo Suma Vectores: suponga un vector V cualquiera

Trazamos ejes coordenados x y con origen en la cola del vector V. Se trazan perpendiculares desde la punta del vector V a los ejes x y y determinándose sobre el eje x la componente vectorial V_x y sobre el eje y la componente vectorial V_y.

Notemos que V = V_x + V_y de acuerdo al método del paralelogramo.

Las magnitudes de V_x y V_y, o sea V_x y V_y, se llaman componentes y son números, positivos o negativos según si apuntan hacia el lado positivo o negativo de los ejes x y y.

Con ayuda de la trigonometría las componentes se pueden determinar como:

V_X = V. Cos

V_Y = V. Sen

Problema
El siguiente ejercicio es para aclarar el uso de vectores unitarios en este método analítico. Un auto recorre 20 km hacia el Norte y después 35 km en una dirección 60º al Oeste del Norte. Determine magnitud y dirección del desplazamiento resultante del auto.

Hacemos un diagrama:

Expresando los dos desplazamientos componentes como A y B, indicados en la figura, y usando unitarios, tenemos:
R = A + B.

R es el vector resultante buscado, cuya magnitud se denota

La dirección puede determinarse calculando el ángulo .

A = 20 km y, (apunta hacia el Norte).
B debemos descomponerlo en componentes x , y

Al reorientar el ángulo

A = (20 km)Cos 90; (20 km) Sen 90 = 0 km ; 20 km

B = (35 km)Cos 150 : (35 km) Sen 150 = -30.3 km : 17.5 km

Luego,

R = 0 Km + 17.5 km ; 20 km + (- 30.3 km) + = - 30.3Km ; 37.5 km;
La magnitud se obtiene de

^R2 = (30.3km)² + (37.5km)² = 48.2 km

La dirección de R la determinaremos calculando el ángulo .
En el triángulo formado por cateto opuesto 30.3 y cateto adyacente 37.5, entonces:

Tan = 30.3/37.5 luego = Tan ^–1 (30.3/37.5) = 38.9º.

GENERALIZANDO EL PROCESO.

Ejemplo: Tres personas tiran de un cuerpo al mismo tiempo aplicando las siguientes fuerzas: F₁ = 5N al Sur. F₂ = 10N 30º al Sur-Este y F₃ = 7N 45º al Nor-Este. Calcular por medio de componentes rectangulares, la fuerza resultante y la dirección a donde se mueve.

Solución:

Graficar todas las fuerzas con sus respectivas componentes en el sistema de coordenadas rectangulares y calcular las componentes rectangulares